一道80年没人解开的数学题，最近被一个AI推翻了。
题目简单到中学生都能看懂：在一张纸上点一堆点，量一量每两个点之间的距离，数数有多少对点之间的距离正好等于1。提出这道题的人叫埃尔德什，他是历史上写论文最多的数学家，一生发了1500多篇，特别擅长出那种话说起来简单、底下却深得吓人的题。这道题就是他1946年出的，他自己还猜了个答案。大多数数学家都倾向于认为他是对的，这一信就是80年。今年5月，OpenAI的一个内部AI模型证明：他猜错了。
先说清楚这道题在问什么。
平面上放n个点，把它们两两连线、量距离，问其中最多能有多少对点的距离恰好等于1。比如放5个点，一共能连出10对，稍微挪一挪位置，最多能让7对的距离都正好是1，再多就办不到了。6个点、7个点也可以照这么算下去。但点一多，情况立刻复杂到算不动。数学家咬牙算到了21个点，再往上，至今没人知道确切答案。
既然算不出每个具体数字，埃尔德什就退一步，去问一个更大的问题：当点的数量n非常大的时候，这个最大配对数大概以多快的速度增长？
他先想办法估一个下限，也就是“至少能有这么多对”。最省事的摆法是把点摆成方格网，间距设成1，那么每个点的上下左右四个邻居跟它的距离都正好是1。但埃尔德什看出还能更狠：把网格缩小，让斜对角线也来凑数。这里要用到勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。一个经典例子是3、4、5：如果把网格间距设成1/5，那么一个点和它右边3格、上边4格的那个邻居之间的距离就是√(3²+4²)×(1/5)=1，斜着也算一对。这么一算，每个点的“距离为1的邻居”从4个涨到了12个。
诀窍就在选一个合适的平方数。选25，它能拆成0²+5²，也能拆成3²+4²，对应12个邻居；选65，能拆成1²+8²和4²+7²，对应16个邻居。这个数选得越大、拆法越多，每个点能配出的单位距离就越多。但也不能瞎大：太大了，那些理论上的邻居就跑到网格外面去了，白搭。所以要选一个够大又不太大的数。
靠着数论里的一些结论，埃尔德什证明：把网格调到最优，单位距离的配对数会比点的数量涨得快一点点，但也就快那么一丁点。这是他能做到的最好下限。再用另一套来自图论的办法，他又估了个上限，可上限涨得比下限快太多，中间空着一大段。
埃尔德什赌真实答案贴着下限那头。他猜，单位距离的配对数基本上就跟点的数量一样多，顶多多出微不足道的一点，而且这点零头会随着n变大越来越可以忽略。这个猜想他证不出来，只能撂在那儿。接下来的80年，看上去他都是对的。
然后OpenAI的模型把它推翻了。
埃尔德什的猜想里藏着一个默认前提：点多到一定程度后，方格网这种摆法已经接近最优，别的花样摆不出更多单位距离。AI偏偏找出了一种不是方格网、更复杂的摆法，能塞进更多。它的做法是先在一个高维空间里搭网格，再把这个复杂结构投影回平面，而且用的不是普通整数，是一种叫代数整数的东西，可以理解成整数的一种推广。高维网格的结构更丰富，同样多的点能压出更多单位距离。
这种摆法只有在点极多的时候才显出优势，画都不好画。但它确实管用：人类数学家威尔·萨温（Will Sawin）算出，这种摆法下单位距离的配对数至少以n的1.014次方增长。1.014看着只比1多一丢丢，可它是结结实实多出来的一截，n越大，就把埃尔德什那条线甩得越远。猜想就这么破了。
要说清楚的是，这题还没彻底解决。目前最好的上限大约是n的1.333次方，离1.014还隔着一段，中间的缝得靠后人继续填。
菲尔兹奖得主高尔斯第一次听说这个结果时，以为AI是把埃尔德什的猜想给证明了。那一晚他都在调整自己的世界观，心想要是AI能想出这种证明，数学家这行恐怕很快就到头了。第二天早上他收到详细邮件，才看清AI是把猜想证伪了，而不是证明了，他说这让他大大松了口气。
推翻一个猜想，和证明一个猜想，在技术上是两回事。证明往往需要发明全新的方法，而推翻只需要找到一个反例或一个更好的构造。AI这次做的，更接近后者。
人类花了80年做不到的事，AI为什么做到了？两条原因。
第一是博。这个证明用到了代数数论里相当高深的技巧，那是个跟“点和距离”八竿子打不着的领域。一个人要独立做出来，得既精通代数数论、又恰好对这道几何题感兴趣，这两样长在同一个脑子里的概率极低。而AI在海量数学材料上受过训练，它接触过的既有数学知识比世上任何一个人都广。
第二是耐。这条证明路又长又苦，看着八成会失败。多伦多大学的齐默尔曼（Jacob Tsimerman）说，他当年也短暂动过用类似办法推翻猜想的念头，但这种路子太费时间、又经常走不通，他就放弃了。AI不嫌烦，它可以一条条试那些大概率走不通的死路，直到撞上能走通的那条。OpenAI的图表显示，哪怕给到最大的算力预算，这个内部模型也只有一半的概率能做出来，它是靠多试取胜的。齐默尔曼后来补了一句：看着一个做完的证明，事后说它显而易见，总是很容易。
这事也不是孤零零冒出来的。三年前，大语言模型连算术题都做不利索。去年，它们刚刚开始在高中数学竞赛里崭露头角。现在，它推翻了一位数学史上论文最多的传奇人物坚持了一辈子的判断。
今年1月，一名剑桥本科生与一位朋友合作，借助AI模型，第一次让AI自主给出了一道埃尔德什问题的解答。5月22日，就在OpenAI宣布两天后，谷歌也宣布它的AI解开了9道悬而未决的埃尔德什问题，其中两道已经挂了50多年。这一拨成果里，OpenAI推翻的这道分量最重。
眼下这一轮，还是人和AI搭着干。证明是AI自己找到的，但要靠人类数学家逐行核验；后来又是人写出更漂亮的版本、把AI的思路延伸下去，比如萨温算出那个明确的下限。这种分工还能维持多久，没人说得准。OpenAI宣布后不久，密歇根大学的一名博士后发现，连人人都能用的公开模型GPT-5.5，只要给一点小提示，也能把埃尔德什的猜想证伪。一个挂了80年的著名猜想，可以被一个普通人就能调用的模型推翻，一个公开模型本来就能做到的事，却没有人想到去试。
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图一：题图，图源：Boris Alexeev et al.图二：5个点两两相连的示意图，图源：Kai Williams / Understanding AI图三：5到9个点时各自的最优摆法——能让恰好相距1的点对数最多的排列。图出自Boris Alexeev、Dustin G. Mixon、Hans Parshall合写的《小点集的Erdős单位距离问题》附录，这篇文章把最优解一直算到了21个点，再往上至今没人知道，图源：Boris Alexeev et al图四：把网格间距缩小，单位圆就能多穿过几个网格点，单位距离也就跟着变多，图源：Kai Williams / Understanding AI图五：13×13网格中靠中间的9个点，各自“距离为1的邻居”的动画。对网格里别的点也能画出类似的圆，把剩下的单位距离点对一一找出来；只是圆上有些位置不会正好落在网格点上，图源：Kai Williams / Understanding AI图六：出自OpenAI宣布AI推翻单位距离猜想的公告，作者在上面叠了一个圆，标出其中一个点“距离为1的邻居”。这里网格间距为1/√65，单位圆能在网格上交出16个点（前提是网格够大），图源：Kai Williams / Understanding AI图七：AI模型给出的那种摆法的简化可视化示意。从中心伸出的12条红线长度都是1。图在ChatGPT帮助下做成，思路来自参与这项工作的数学家Will Sawin，图源：Kai Williams / Understanding AI
信源：Contributors, Ars. "An OpenAI model solved a famous math problem that stumped humans for 80 years." Ars Technica, 1 June 2026
