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英文题目：Formulating the Unicycle on the Sphere Path Planning Problem as a Linear Time-Varying System

中文题目：将球面独轮车路径规划问题表述为线性时变系统

作者：Federico Thomas, Jaume Franch

作者单位：ETSEIB 机器人与工业信息研究所 (CSIC-UPC)、

期刊：IEEE Transactions on Robotics（IF 10.5 中科院一区，JCR一区）

发表时间：2025年5月6日

链接：https://doi.org/10.1109/TRO.2025.3567525

引文格式：Thomas F, Franch J. Formulating the Unicycle on the Sphere Path Planning Problem as a Linear Time-Varying System[J]. IEEE Transactions on Robotics, 2024, 69(5): 3335-3346.

01全文速览

球面上滚动的独轮车——这个听起来像杂技表演的系统，其实是机器人学中一个经典的非完整约束问题。它与平面上的独轮车（即常见的汽车模型）有着深刻的联系：当球面半径趋于无穷大时，前者退化为后者。

传统上，这类问题的研究依赖微分几何和非完整系统理论，门槛较高。巴塞罗那自治大学和加泰罗尼亚理工大学的研究团队另辟蹊径，他们把问题重新表述为线性时变系统，并利用一类特殊矩阵（可构成四元数基的反对称正交矩阵）的性质，找到了路径的闭式解析解。

这个方法的关键在于：通过把参考系固定到独轮车上，让球面成为运动物体，系统的运动方程简化为

的形式。然后，他们应用了20世纪70年代Wu等人关于线性时变系统可积性条件的理论，发现当控制输入取正弦形式时，系统满足可积条件，状态转移矩阵可分解为两个常数矩阵指数乘积

。

最终，路径规划问题归结为求解关于三个自由参数

的方程。除了一种奇异情况（目标姿态对应的

）外，参数均有唯一解。生成的路径可能是平滑的，也可能含有尖点，并且可以根据路径的方向和尖点极性分类为不同的同伦类。

核心亮点：

✅简洁建模：把非完整约束问题转化为线性时变系统

✅闭式解：状态转移矩阵可分解为

，路径有解析形式

✅正弦输入：控制量自动为正弦函数，无需预设

✅通用解：三个自由参数可连接任意始末姿态（奇异情况除外）

✅平面退化：球面解可退化到平面，揭示了两类问题的内在联系

02研究内容

🧩问题：球面上的独轮车怎么建模？

Figure 1：为了使用标准公式来表征独轮车在球体上的运动，需要三个参考系：一个用于球体，一个用于独轮车，第三个参考系其原点位于球体和独轮车之间的接触点。这会产生大量的符号。

图1展示了传统方法需要的三个坐标系：球面固连系、独轮车固连系、接触点坐标系。运动约束可写成

，具体为：

其中

是球面半径，

是独轮车半径，状态变量

。这个模型有两个缺点：一是在极点

处奇异，二是形式复杂，不易处理。

🔄视角转换：让球面动起来

他们换了个思路：把参考系固连在独轮车上，让球面成为运动物体。这样，独轮车相当于给球面施加了一个约束：球面不能绕接触点的法向旋转。在球面本身的角速度

中，这个约束就是

。

球面的姿态用单位四元数

描述，其运动学方程为：

其中

是三个4x4反对称正交矩阵，它们满足类似四元数的乘法规则。

加上约束

，方程简化为：

这是一个线性时变系统，比原来的非线性约束方程简洁得多。

🧠核心条件：什么时候可以积分？

他们应用了Wu等人（1974-1975）关于线性时变系统可积性的理论：系统

的解可以写成

，当且仅当存在常数矩阵

满足：

而

。

把

代入，经过一番推导，他们发现

必须取

的形式，且

必须满足：

这正是正弦信号的微分方程！所以

。

于是：

至此，所有矩阵都确定了。

📐参数求解：三个方程决定一条路

把时间归一化到[0,1]，问题归结为求参数

使：

设

，并利用指数公式

（

为反对称正交矩阵），上式展开为四个标量方程：

其中

为目标姿态（初始姿态设为(1,0,0,0)）。

这看似四个方程三个未知数，但由于四元数归一

，它们是相容的。

经过变量代换，可以导出关于

的方程。该方程无法解析求解，但可以通过数值方法（如图2所示）得到唯一解，除非遇到奇异情况

。

Figure 2：方程

的左右两边函数图像

图2展示了方程左右两边作为

的函数曲线。对于给定的

和

，两条曲线通常有唯一交点，对应唯一的

。当

时，情况特殊。

Figure 3：

作为

和

的函数曲面

图3是数值计算得到的

曲面。当

趋近于1时，

趋近于阶跃函数。

🧪实例验证：四种典型情况

他们用四个例子展示了方法的有效性：

例1：一般情况

目标姿态：

。计算得参数后，路径如图4左所示。考虑其对跖姿态

，路径如图4右所示。两条路径属于不同的同伦类。

Figure 4：一般情况的两条路径

图4中，左路径的序列为

（后退、正尖点、前进），右路径为(b)（纯后退）。这揭示了路径的同伦分类。

例2：奇异情况

目标姿态：

。此时\upsilon=1，方程无唯一解，但存在一族解，由参数

自由选择。图5展示了这族路径。

Figure 5：奇异情况下的路径族

图5左是目标姿态的路径族，右是其对跖姿态的路径族。图6则从每个族中选出一条路径，展示了8种不同的同伦类。

Figure 6：8种不同同伦类的路径

图9清晰地展示了路径的分类，以及对应的

值。

例3：随机游走

他们用100个随机姿态生成了球面上的随机游走轨迹（图7左）。在存在圆柱障碍物的情况下，可以规划出绕障路径（图7右）。

Figure 7：随机游走和绕障路径

图7左是无障碍随机游走，右是绕开七个圆柱障碍的路径。

例4：退化到平面

当独轮车运动范围很小时，球面可近似为平面。他们构造了一族目标姿态，生成了不同航向角

下的路径（图8）。这些路径直观地展示了从球面到平面的过渡。

Figure 8：退化到平面的路径族

图8的四行对应不同航向角

，每行有24条路径对应不同的

。当

时，路径需绕过整个球面，这提示在实际平面运动中应避免这种情况。

03创新点

①坐标系转换的奇效

把参考系从球面固连系改为独轮车固连系，让问题从非线性约束变为线性时变系统。这个视角转换是全文最核心的洞察，它让后续所有数学工具得以施展。

②利用矩阵代数的结构

不仅是反对称正交矩阵，还构成四元数的一组基。这个结构使得矩阵指数

有简洁的三角函数形式，也使得

的形式被限定为

。

③线性时变系统可积性条件的应用

Wu等人的理论（1974-1975）虽然年代久远，但用在这里恰到好处。它把解的存在性问题转化为

的求解，而后者又自然地导出了控制量

必须取正弦形式。

④完整的三参数族解

最终得到的解包含三个自由参数

，足以连接任意始末姿态（奇异情况除外）。这表明系统是完全可控的，且参数有明确的物理意义（振幅、频率、初相）。

⑤与平面问题的统一

当球面半径

，且运动范围很小时，球面上的路径可以近似为平面上的路径（例4）。这不仅验证了方法的正确性，也揭示了“球面独轮车”作为“平面独轮车”的推广的内在联系。

04总结与展望

这篇论文给人的启发是：有时候换一个坐标系，问题就能豁然开朗。原本需要微分几何和非完整系统理论的问题，被转化成了线性时变系统的积分问题，而后者可以用20世纪70年代的经典理论完美解决。

这种方法不仅简洁，而且深刻——它揭示了控制量必须是正弦函数的内在原因，给出了路径的闭式解，还自然地导出了路径的同伦分类。对于非完整系统研究者和机器人路径规划工程师来说，这都是一篇值得细读的佳作。

未来研究将聚焦于以下几个方向：

🔸解析解的近似：方程(38)目前需要数值求解，如果能有精度可控的解析近似，就可以把本方法嵌入到实时控制回路中，用于路径跟踪。

🔸曲率分析：生成的路径在S^3上是光滑的，但投影到S^2上可能产生尖点。如果能推导出曲率的最大最小值，就可以判断路径是否满足机器人的运动学约束。

🔸扩展到其他非完整系统：这种“线性时变系统+矩阵指数”的思路能否推广到其他非完整系统，如轮式移动机器人、蛇形机器人等？

🔸考虑动力学：目前只考虑运动学，如果加入质量、惯量、力矩等动力学因素，问题会复杂得多，但可能也有类似的简化方法。

🔸与全局规划器结合：本方法生成的是两点间的路径，如果需要全局避障，可以把它作为底层模块，嵌入到RRT、PRM等全局规划器中（如例3所示）。

🔸物理实现：本文的动机之一是控制非完整球关节。在实际机器人上实现本方法，并验证其精度和鲁棒性，是很有价值的工作。

从理论到实践，从球面到平面，这条路径规划的新思路还有很多值得探索的地方。

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